W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych:

Płaszczyzna zespolona, zad. 7

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Komentarzy (2)

  • Sebastian Orzeł
    @Marian.Janiszewski Oto rozwiązanie zadania.

    Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x, y\in\mathbb{R}\) (liczby rzeczywiste), \(i\) to jednostka urojona, czyli \(i^2=-1\).
    Wtedy \[z^2=(x+yi)^2=x^2+2xyi+y^2i^2=x^2-y^2+2xyi\]stąd\[Re(z^2)=x^2-y^2\]\[Im(z^2)=2xy\]Ponadto równanie \(x^2=t+8i\) przyjmuje postać\[x^2-y^2+2xyi = t + 8i\]Porównując części rzeczywiste i urojone liczb zespolonych po obu stronach równości mamy układ równań:\[x^2-y^2 = t,\,\,\,2xy = 8\]Wiemy również, że \(\arg(z^2)=\frac{3}{4}\pi\) zatem:\[\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\frac{Im(z^2)}{|z^2|}\]
    oraz\[\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\frac{Re(z^2)}{|z^2|}\]Liczymy \(|z^2|=\sqrt{\big(Re(z^2)\big)^2+\big(Im(z^2)\big)^2}\):
    \[|z^2|=\sqrt{(x^2-y^2)^2+4x^2y^2} = x^2+y^2\]
    Wiemy, że \(\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) i \(\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) stąd mamy:
    \[\frac{\sqrt{2}}{2}= \frac{2xy}{x^2+y^2}\]\[-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\]Do powyższych równań za \(2xy\) podstawiamy 8, a za \(x^2-y^2\) podstawiamy t:\[\frac{\sqrt{2}}{2}= \frac{8}{x^2+y^2}\]\[-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{t}{x^2+y^2}\]Mnożymy obie strony przez \(x^2+y^2\) i otrzymujemy \(t=-8\).
  • Marian.Janiszewski
    jak rozwiązać zadanie:
    \(z^2= t+8i\), gdzie t należy do liczb R (rzeczywistych) oraz \(i^2=-1\). Przyjmując, że \(arg(z^2) = \frac{3}{4}\pi\), znajdź wartość t.
    Dziękuję za pomoc : janiszewski